利用新课程题型特点 促进新课程数学教学
◎ 辛 春
目前，高中数学新课程已在全国几个省份得到了实施，新课程的“提供发展平台、适应个性发展，注重提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识、注意适度形式化化、体现数学的文化价值等”等基本教学理念，极大地冲击了传统教学的价值取向，给传统的数学问题（题型）注入了新的活力，使数学问题更加注重创设真实的情境、联系生活实际、激活学生知识、强化情感体验。由于构建题目的观念、途径和方法发生了改变，数学题的教育功能和数学文化内涵也发生了变化。这些变化丰富了数学的问题背景，进一步强化了数学的育人功能，昭示了数学文化的亲切面容。
笔者做为实施新课程的一线教师，深知在教学中把握问题特点、训练学生思维的重要性。下面就以苏教版高中数学新课程为例，结合自己在教学实践中体会，谈谈新课程数学问题的主要变化和特点。
一、开放性
新课程着力培养学生数学发射思维能力和应用数学的意识，强调让学生动手实践、自主探索与合作交流。数学开放题是达此目的的重要手段和载体……它有利于培养学生思维的创造性，把学生从单一的、僵化的思维模式中解放出来，也为数学应用和学生的个性发展提供了平台。
例1．（普通高中数学课程标准37－38页例一）教育储蓄的收益与比较。要求学生收集本地区有关教育储蓄的信息，思考以下问题。第（8）道：不用教育储蓄的方式，而用其它的储蓄形式，以每月可存100元，6年后使用为例，探讨以现行的利率标准可能的最大收益，将得到的结果与教育储蓄比较。
对于这个问题，每个学生都可以自由地选择储蓄的形式，按照要求进行探讨，也可以进行合作交流，答案不唯一，在呈现的形式上具有开放性。
二 、探究性
数学探究是指学生围绕某个数学问题，自主探究、学习的过程。这个过程应包括：观察分析数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、探究适当的数学结论或规律，给出解释或证明。在问题的探究过程中，需要学生心智、操作、情感等多方面技能的支持以及多感官的参与。包括尝试、操作、想像、归纳、抽象、概括等。学生正是在探究实践中学会了创造。
例2 （苏教版必修4第83页，15题）设向量a=(cos750,sin750),b=(cos150,sing150),试分别计算a
b=|a|.|b|cos及ab=x1x2+y1y2.。比较两次计算的结果，你能发现什么？
本题要求学生计算ab=|a|.|b|cos, 以及ab=x1x2+y1y2.，一种是的数量积定义，另一个是向量的数量积的坐标表示，学生都可以根据已学的知识比较熟练地进行运算。通过探索发现有－＝coscos+sinsin这一结论，而这一结论正是后面两角和与差的余弦公式的特殊化。从而为以后的学习埋下了伏笔。
三、人文性
数学是人类文化的重要组成部分，是人类社会进步的产物，也是推动社会发展的动力．新课程要求通过高中阶段数学文化的学习，体会数学的科学、应用、人文价值。可见新课程关注数学的人文精神．应通过数学问题的构建，来提高自身的文化素养和创新意识。
例３．（苏教版必修５第35页，例1）第一届现代奥运会于1896年在希腊雅典举行，此后每四年举行一次。奥运会如因故不能举行，届数照算。（1）试写出由举行奥运会的年份构成的数列的通项公式：（２）2008年北京奥运会是第几届？2050年举行奥运会吗？
本题通过现代奥运会的历史介绍引入，容易引起学生的兴趣，同时又让学生了解了奥运史。新课程常会通过各种政治性、经济性、社会性以及环保、交通等方面的典型材料构造题目，使学生了解社会、关心人类的发展，这些都能激发学生对数学学科的情感。当然，我们还可以借助于分类训练题的分层练习，使各种水平的学生得到发展，得到成功的喜悦。
四、趣味性
根据学生心理特点、审美需要，选取密切联系学生生活、生动有趣的素材，从而增强数学问题的趣味性，培养学生对数学的积极的情感。产生乐学的态度。
| A B |
例４．（苏教版必修4第69页，15题）中国象棋的
半个棋盘上有一只“马”，开始下棋时，它位于A点，这只
“马”第一步有几种可能的走法？试在图中画出来。它能否
从点A走到与它相邻的B点？它能否从任一交叉点出发，
走到棋盘上的其他任一交叉点？
五 启智性
新课程倡导在广阔的生活背景下，把握数学结构的本质，提取其中鲜活的、富有想象的原型，从中提炼、构建数学问题。通过这样的数学问题，训练学生的思维的敏捷性，让学生从中感受到数学的亲切和数学智慧的力量。
例５ （苏教版必修4第118页，16题）由倍角公式cos2x=2cos2x－1.，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式。对于cos3x，我们有
cos3x=cos(2x+x)=cos2xcosx－sin2xsinx＝（2cos2x－1）cosx－2(sinxcosx)sinx=2cos3x－cosx－２(1－cos2x)cosx=4cos3x－３cosx．
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式。
一般地，存在一个n次多项式Pn(t)，使得cosnx=Pn(cosx)，这些多项式Pn(t)称为切比雪夫多项式。请尝试求出P4(t)．即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x.
利用结论cos3x=4cos3x－3cosx．求出sin180的值． (提示3180=900－2180)
本题从学生熟悉的二倍角的余弦公式入手，导出三倍角的余弦公式,要求学生推导四倍角的余弦公式，即cos4x.＝cos(2.2x)=2cos22x－1＝２(2cos2x-1)2－１＝8cos4x－8cos2x＋1
并利用三倍角的余弦公式，探求sin180。即sin360=cos540, 2sin180cos180= 4cos3180－3cos180
4sin2180+2sin180 －1=0，sin180=
六挑战性
新课程注意选择具有思考性、挑战性的问题，学生往往需要通过观察、尝试、分析、推理来探索解题的途径和方法。在学生的“愤”、“悱”状态下油然而生对数学的情感和数学潜能。
例六 （苏教版必修4第21页）若角的终边与角的终边关于直线y=x对称
（1） 角与角的正弦函数和余弦函数值之间有何关系？
（2） 角的终边与角的终边是否关于直线y=x对称？
（3） 由（1）（2）你能发现什么结论？
本题需要学生通过画图、观察、分析、推理、探究、讨论才能有所发现。具有一定的挑战性，能激发学生的斗志，培养克服困难的勇气与战胜困难的信心。
七应用性
《新课程标准》关于数学课程的基本理念中指出：“数学教学应实现‘人人学有价值的数学’”。这就明确了学生学习数学的目的是为了体现数学的价值，即要应用所学的数学知识解决生活中的实际问题，也就强调了数学的应用性。也只有在实践中加以应用，所学的数学知识才会得到深化。
有关应用性的数学问题在新教材中俯拾即是，在此不再举例赘述。
只有把握了新课程的题型的特点，
（作者单位：江苏省南渡高级中学）
