顺应数学思维 打造生本课堂
——以因式分解为例
◎ 胡可碧
数学是一门抽象、逻辑性较强的学科，数学教学要真正尊重学生的认知起点和思维本质,要充分落实以生为本的理念。只有以学生的生活经验为基础,不断完善,修正学生认知中的不足之处,才能让学生的数学学习真正发生,进而打造生本课堂。数学思维过程的实质是理解、转换、实施、反思。下面我以因式分解为例，谈谈培养学生数学思维的技巧和方法。
一、正确理解定义,清楚内涵与外延
把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。
从定义中因式分解具备两个条件：整式、最简整式的乘积
例1：判断下列几个多项式从左到右是因式分解
①x2+
+1=(x+1+x)
②3x2+6x+7=3x(x+2)+7
③(x+3)(x+1)=x2+4x+3
④4x2+4xy+y2 =(2x+y )2
分析：从上面可知第①②③均不对，第①不满足整式，第②不满足最简整式的乘积，第③考察因式分解与整式乘法是互逆运算。第④是正确的。
二、熟练掌握因式分解基本方法
因式分解的基本方法主要有四种：提取公因式法；公式法；分组结合法；十字相乘法等方法。
（一）提取公因式法
提取公因式法是首先考虑的方法
例2：因式分解
①4x+8y+6z
②3a2bc3+2la3b2c2+18a2bc
③-x2+ x -1
④-5m3n +10m3n2 -15m2n2
解：①原式＝2(2x+4y+3z)
②原式＝3a2bc( ac2+7a2bc +6)
③原式＝-(x2-x+1)
④原式＝- 5m2n ( m -2mn+3n)
小结：从上面发现，提公因式的步骤：第一步：考察各项系数，取各项系数的最大公约数作为公因式的系数，简称“一大”；第ニ步：对于字母，一是取各项相同字母，二是各项相同字母指数取其最低的，简称“一小”；第三步：考察多项式首项是否有负号，若有负号，就提取负号，简称“一负”。有些公因式是一个整体，可以整体提出。于是，得到提取公因式的口决“一大，一小，一负”。
（二）公式法
公式法包含平方差公式与完全平方公式。
(1)平方差公式
a2-- b2=( a + b)(a -- b )
公式中的特点：相同项a的平方减去相反项b的平方，等于相同项 a 加上相反项 b 的和，乘以相同项 a 减去相反项 b 的积。
例3：因式分解
①4a2-9b2
②-x2+ y2
③-(-m)2+(-n)2
④(2x-y)2-(3x+y)2
解：①原式＝(2a)2--(3b)2=(2a+3b)(2a--3b)
②原式＝--(x2-- y2)=--(x+y)(x--y)
③原式＝(-n)2-(-m)2
＝(n)2- (m)2
＝（n +m）（n - m）
④原式＝(2x- y +3x+y)(2x- y -3x-y)
＝5x（-x-2y）
＝-5x(x+2y)
小结：一是先看是否有公因式，在考虑公式；二是平方差公式中的 a , b 可以是单项式，也可以是多项式，当a,b是多项式时，把它看作一个整体进行计算采（整体思想）。三是不能直接运用平方差公式分解的，考虑能否通过变形创造符合平方差公式的模型。四是分解因式要分解彻底，注意二次分解。
(2)完全平方公式
两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方。
a2±2ab+ b2 =( a ± b )2
这个公式项多，符号不易牢记，编口决为：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，中央符号看前方，读起口诀朗朗上口，记起轻松自如。
例4：因式分解
①4m2+12mn+9n2
②6a2-12a+6
③-9x2+6xy- y2
④4(x+ y )2-12(x+ y)( x-y)+9( x-y)2
解：①原式＝(2m)2+2×2m×3n+(3n)2
=(2m+3n)2
②原式＝6( a2 -2a+12)
=6( a - 1)2
③原式＝-(9x2-6xy+y2)
=-[(3x)2-2×3x×y+y2]
=-(3x-y)2
④原式＝[2( x+y)]2-2×[2( x +y)]×[3(x-y)]+[3( x-y)]2
=[2(x+y)-3( x-y)]2
=(2x+2y-3x+3y)2
=(-x+5y)2
=(x-5y)2
小结：第一判断一个多项式是不是完全平方公式，观察多项式的项，若三项看是否满足口决；第二公式中的a,b既可以是单项式，也可以是多项式，要有整体意识，如④，采用整体思想。第三有公因式应先提取公因式，再利用公式进行分解，直到不能再分解为止。
（三）分组结合法
分组结合法常常有两种形式：二二分法、三一分法。
例5：因式分解
①ab+ bc -- ma -- mc
②1-a2-2ab-b2
解：①原式＝( ab + bc )-( ma + mc )
= b ( a + c )- m ( a + c )
=（b-m ) (a + c )
②原式＝1-( a2 +2ab+b2)
=12-( a + b )2
=(1+ a + b )(1- a - b )
小结：第一先考虑提取公因式，第二再考虑公式法，第三考虑分组结合法。在分组中，也会涉及提取公因式和公式法，直到不能再分解为止。
（四）十字相乘法
x2+ px + q =( x + a)( x + b ) ( p = a + b, q = ab )
利用上式可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式。十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数。
(1)当 q 为正数时 ，q 应分解为符号相同的两因数的积。当 p 为正数， q 应分解为两个正数；当 p 为负数， q应分解为两个负数。
例6：因式分解
①x2+4x+3
②x2-7x+10
解：①原式＝(x+3)(x+1)
②原式＝(x-2)(x-5)
（2）当 q 为负数时， q 应分解符号相反的两因数的积。当 p 为正数时，则 q 中分解的绝对值较大因数为正数；当 p 为负数时，则 q 中分解的绝对值较大因数为负数。
例7：分解下列因式
①x2+6x-7
②y2-10y-11
解：①原式＝(x+7)(x- 1）
②原式＝(y+1)( y -11)
小结：首先，将二次三项式按降幂排列，其次，将首项分解写成一列，再将第三项分解写成一列，然后，将两列对角线的两式相乘并加起来，如果它们的和等于中间项，则因式分解成功，最后按行写出两因式的积。
例8：分解下式因式
①x y2 -x2
②(x2+y2)2-4x2y2
③(a2+3a)2-2( a2 +3a)-8
④a2-9b2-2a+1
⑤(a2+b2-c2)2-4a2b2
分析：因式分解的基本方法多而杂，当然也有其解题的基本规律，首先考虑提取公因式；其次，套用公式，然后才考虑分组结合法与十字相乘法，最后，检查因式分解是否彻底，直到不能再分解为止。总结为；一“提”二“套”三“查”。
解：①原式=x2( x2y2 -1)=x2( xy +1)( xy - 1 )
②原式＝(x2+y2+2xy）(x2+ y2 -2xy)
=(x+ y )2( x -y )2
③原式＝( a2 +3a-4)(a2+3a+2)
=( a - 1)(a +4)( a +1)(a +2)
④原式＝( a2 -2a+1)-9b2
=( a -1)2 -(3b)2
=( a +3b-1）（a -3b-1)
⑤原式＝( a2 +b2+2ab- c2)( a2 +b2-2ab- c2)
=[( a + b )2-c2][ ( a - b )2-c2]
=( a +b+ c)(a +b-c)(a -b+c)(a -b-c)
三、注重总结与灵活运用
在因式分解过程中，掌握其基本方法，还应领悟其中的数学思想一一整体思想，只要大家做到不焦不躁，细心品味其中数学基本方法和基本技能，数学知识掌握起来会得心应手，巧记其中的数学口决，培养了学习数学的兴趣，日积月累定能收获颇多，学习效果显著。
（作者单位：四川省广安市广安区悦来初级中学校）
