变换问题 激发灵感
——浅谈变换问题对解题的帮助
◎ 李胜英
摘要：数学解题通常是通过对新问题与原问题的联系，以及新问题的解题思路，最后达到解决原问题的目的。本文从问题研究领域的转移、扩大、缩小、分离四个方面分析问题变换的方法和注意点，从而得到解决问题的各种方法。
关键词：问题变换；问题研究领域 ；数学解题
数学充满着矛盾，如已知与未知、定与变、多与少、抽象与具体等等，而矛盾的对立面在一定条件下可以互相转化。而恩格斯指出：“从一种形式到另一种相反形式的转变，是数学科学最有力的杠杆之一。”据此，数学家们常把将解决或未解决的问题，通过某种转化，变换成一类已经解决或比较容易解决的问题。
数学解题，也就是从未知领域出发，通过数学元素之间的固有联系，到达已知的领域。解题的关键在于通过对原问题的一系列变换，逐步拉近未知领域到已知领域的距离。具体地说，在直接求解原问题难以下手时，可把问题加以改造、延伸或分解，造成一个或几个比原问题简单、难度较低或已经熟悉的新问题。通过对新问题与原问题的联系，以及新问题的解题思路，最后达到解决原问题的目的。
在中学阶段所研究的数学问题（以问题所属知识体系为准）：从广义而言主要有关于代数领域和几何领域方面的知识；从狭义而言，有三角函数领域的问题、方程求解的问题、排列组合领域的问题、涉及抽屉原理领域的问题、平面几何领域的问题、立体几何领域的问题等等。
在进行问题的转换时，首先应确定以下问题：
1、这是什么类型的问题？
2、这样的问题是否见过？
3、是否见过本质相同，形式不同的问题？
4、是否已知一个派得上用场的解题方式或回想起类似的问题解法？
5、能否利用以前的解答方法？
在此基础上确定探索方向，去实现问题的变换。
以下是对解题中实现变换的若干途径的初步探讨：
一、问题研究领域的转移
问题研究领域的转移，可以通过下列熟悉化策略，直观化策略，间接化策略得到实现。
（一）熟悉化
熟悉化策略，顾名思义，即把陌生的问题熟悉化，然后充分利用已有的知识经验或解题模式进行解答。因而，由此所实现的研究领域的转移主要体现在：陌生领域→熟悉领域。而根据转移方向不同，又可分为：
1、 纵向转移
例1、求和
思考分析：这是一个数列求和问题，我们所学过的等比（等差）数列求和公式不能直接运用。观察未知元有： ，系数依次为1，2，3，…n。由此联想到函数的求导公式，从而将原问题转化为新问题：对函数进行求导。通过对等比数列求和公式的求导，使原问题快速而简单地得到解决。
2、 横向转移（类比转移）
例2、求证：正四面体中任意点到四面体的距离之和等于正四面体的高。
思考分析：这是一道立体几何证明题，利用立体几何的有关知识，可以直接证明，但是相当繁琐。如果仔细观察，由“……距离之和等于……高”，不难联想到平面几何中我们所熟悉的定理“正三角形中任一点到三边的距离之和等于正三角形的高”及其它的证明模式，那么，定理的证明可否应用到该命题的证明中呢？
通过实践证明，答案是肯定的，于是该命题得到快速证明。
当然，我们还可以举出许多例子：数与形之间的类比，集合运算和数的运算类比，椭圆与双曲线的类比，一维空间、二维空间、三维空间中两点之间的距离、定比分点的类比等等。
熟悉化策略表明：对一道数学题应当尽可能多地从不同的侧面，不同的角度去认识它，而后根据自己的经验知识，认识它的归属领域，适时调整分析问题的视角，适当进行问题研究领域的转移，这样有助于更好地把握题意，找出自己熟悉的、简便的解题方向。
从例题的思考分析来看：
例题1的解题方向为：数列求和→函数求导
例题2的解题方向为：立体几何→平面几何
这些都清晰地体现了熟悉化策略所实现的问题研究领域的转移。
（二）、直观化
直观化策略，就是把抽象的问题形象化，此策略之下，研究领域转移的具体体现是：抽象领域→形象领域。
从思维学上分析，直观化是形象思维在解题中的具体应用。一般说来，数学中的图表、图形和图像，具有形象直观的特征，所以常常把它们作为思维的支撑点，使抽象的研究材料形象化、具体化。
就拿图像的直观化来说，它可以准确而快捷地处理数量关系的问题。例如：我们常遇到的“求几个函数的最值”问题，将它们的函数图像在直角坐标系中绘出，一眼便知最小值所在位置，但是如果用代数法去求解，道路可就崎岖复杂了。有关数量关系的问题，不仅可用图像直观化，也可用图表、图形进行直观化。同时必须指出图表、图形和图像不仅可以用已处理数量关系的问题，有时也可用来解释某些结构特殊的立体几何及排列组合问题等等。
(三)、间接化
所谓间接化，就是当从问题的正面难以下手时，即刻改变思维方向，从问题的反面进行考虑，从以上定义来看，它所引出问题研究领域的转移具体体现在：正面直接领域 反面直接领域：
例3、设三个方程中，，
至少有一个方程有实数根，求实参数a的取值范围。
思考分析：这是一道求实参数值问题。运用“△≥0”便可直接求解，但因为有“至少”这个特殊词，运算相当繁冗。但从反面考虑，即将原问题转化为新问题：假设三个方程，，没有实数根，求实参数a的取值范围。这时只须求解△＜0的一个不等式组：
从而得到：a∈（—∞，）∪（—1，+∞） 时，方程有解。
上例表明：要善于突破思维定势的束缚，转换视角，从习惯思路相反的方向去思考，分析问题，从而实现将问题由陌生领域向熟悉领域转换这一重要环节。例题中的研究领域的转换具体体现在：方程组有实数根 方程组无实数根。
二、问题研究领域的扩大
问题研究领域的扩大，时髦地说，就是对问题研究领域放宽政策，将所研究的问题平民化、一般化。那么，如何使问题一般化呢？关键就在于寻找问题的“共性”（相对于“个性”而言），如下例题：
例4：试证
思考分析：这是一道代数式大小的比较题。
不等式两边的代数式值都很大，无法直接计算，那么，就要从它们的相互联系进行比较入手，它们存在哪些联系？先看左式：它是一个幂的乘方，形如，这里a=999，m=1997， 。再看右式：从而得知：左、右两式都与1997有关，为了方便起见，就令m=1997，于是原问题便清晰地转化为问题——“求证：”
只需利用 （当且仅当n=1时，等号成立）便可得证显然，当m=1997时，成立。上例表明：此例问题研究领域的扩大具体体现在将推广到
问题研究领域的扩大，即问题的一般化，主要遵循以下三步：
首先，分析问题，寻找问题的“共性”，在例题中，“共性”即1997的普遍性，其次，将原问题转化成一般化问题，最后，通过一般化问题的解决，顺利过渡到原问题的解答上。
三、 问题研究领域的缩小
问题研究领域的缩小，通俗地说，在显微镜下观察问题，使研究的问题个性化、特殊化，以便发现问题的解答方向或途径，那么，如何做到问题的特殊性呢？关键在于：寻找问题的“个性”特征（特殊数值，特殊情形或特殊位置）
例5，如图，设是椭圆的两焦点，P是椭圆上的一动点，I是△P的内心，设PI交椭圆长轴于N，求证为定值。
思考分析：这是一道求证量的定值问题，且这个定值未知，得先确定求证量的定值，根据P的任意性，我们就考虑，P在y轴上，由对称性得知I也在y轴上，然而根据△内心的性质及角平分线定理得到定值，最后证明这个定理的恒定性，比例的问题研究领域的缩小具体体现为：求证为定值 求证，同时它表明：问题研究领域的缩小，即为问题的特殊性。
主要以下三步：
（一）分析问题，寻找“个性”（比例“个性”——取P点，定值不变）
（二）将原问题转化为特殊问题。
（三）通过解决特殊问题来解决原问题。
四、问题研究领域的分离
问题研究领域的分离，将研究整体领域有机地分离成几个局部领域，而后将问题放入各个局部领域进行研究，通过在局部领域中问题的解决来解决整体领域中的问题。但是在运用过程中，关键环节是：寻求恰当的分类根据，并按照分类的规则，把整体领域进行分离。同时要注意：分类的不遗漏性、不重复性。
解答这类问题的基本方法是分域法，根据题目的特点，选择恰当的分类标准，把参数的取值范围（或相互关系），分为若干便于研究讨论的界域，而后逐一求解。而分域的主要依据有：分类叙述的定义、定理、公式、法则，具有分类讨论位置关系的几何图形等。同时指出，分域法并非局限于处理参数的问题，也有一些不含参数的数学题，如含有绝对值的方程、不等式问题，排列组合问题，涉及抽屉原理的问题，某些几何作图问题等等。
在数学学习及探索数学问题中，“变换”不仅是一种基本的解题方法，也是一种重要的数学思想，通观中学数学教材，“变换”无处不在，必须强调的是变换时要注意以下两点：
1、变换后的新问题与原问题是否等效。
2、变换是否真正达到了以简驭繁的目的。
变换问题不是目的而是手段，因为从不同的角度分析问题，进行有益的联想和探索，进而得到解决问题的不同方法，对于培养学生聚合思维，特别是发散型思维具有极好的功能，既可以摆脱“题海”，又能提高学习兴趣，将所学得的知识，纵横联系、广泛迁移，灵活应用，能有效地防止照猫画虎、模式辨别的机械学习，有利于激发学生独立思考和创新意识，从而培养深刻理解概念，克服循规蹈矩，善于多向思维的良好思维品质。
（作者单位：江苏省宜兴市树人中学）
