简谐运动的分析
◎ 张国庆
高中阶段学到的典型运动，人们概括为五种：匀速运动、匀变速直线运动、平抛运动、圆周运动、简谐运动，而简谐运动代表了最为复杂的运动。在一些习题中，乃至高考题中，也有很多以简谐运动为背景的综合问题。这就要求学生对简谐运动有较为深刻的理解，才能灵活自如地去解决问题。
一般情况，学生对于简谐运动的周期性和各量的变化有着充分的认识，但是，对一些必须弄清的问题没有充分的认识，以至于不能融会贯通地分析问题。
1、必须弄清简谐运动的判断方法。
要判定一个物体的运动是简谐运动，首先要判定这个物体的运动是机械振动，即看这个物体是不是做的往复运动；看这个物体在运动过程中有没有平衡位置；看当物体离开平衡位置时，会不会受到指向平衡位置的回复力作用，物体在运动中受到的阻力是不是足够小。 然后再找出平衡位置并以平衡位置为原点建立坐标系，再让物体沿着x轴的正方向偏离平衡位置，求出物体所受回复力的大小，若回复力满足F=-kx,则该物体的运动是简谐运动。
例1、两根质量均可不计的弹簧，劲度系数分别为K1、K2，它们与一个质量为m的小球组成的弹簧振子，如图1所示。试证明弹簧振子做的运动是简谐运动。
证明：以平衡位置O为原点建立坐标轴，当振子离开平衡位置O时，因两弹簧发生形变而使振子受到指向平衡位置的合力。设振子沿X正方向发生位移x，则物体受到的合力为F=F1+F2=-k1x-k2x=-(k1+k2)x=-kx.
所以，弹簧振子做的运动是简谐运动。
2、必须弄清简谐运动的对称性
简谐运动的对称性是指振子经过关于平衡位置对称的两位置时，振子的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是等大的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度动量的方向不确定）。运动时间也具有对称性，即在平衡位置对称两段位移间运动的时间相等。
理解好对称性这一点对解决有关问题很有帮助。
例2、如图2所示。弹簧振子在振动过程中，振子经a、b两点的速度相同，若它从a到b历时0.2s,从b再回到a的最短时间为0.4s,则该振子的振动频率为：
A、1Hz; B、1.25Hz; C、2Hz; D、2.5Hz.
分析与解：振子经a、b两点速度相同，根据弹簧振子的运动特点，不难判断a、b两点对平衡位置（O点）一定是对称的，振子由b经o到a所用的时间也是0.2s,由于“从b再回到a的最短时间是0.4s”,说明振子运动到b后是第一次回到a点，且ob不是振子的最大位移。设图中的c、d为最大位移处，则振子从b经c到b历时0.2s,同理，振子从a经d到a,也历时0.2s,故该振子的周期T=0.8S,根据周期和频率互为倒数的关系，不难确定该振子的振动频率为1.25Hz.故本题答B.
例3、如图3所示，一轻质弹簧竖直放置，下端固定在水平面上，上端处于a位置，当一重球放在弹簧上端静止时，弹簧上端被压缩到b位置。现将重球（视为质点）从高于位置的c位置沿弹簧中轴线自由下落，弹簧被重球压缩到最低位置d.以下关于重球运动过程的正确说法应是
A、重球下落压缩弹簧由a至d的过程中，重球做减速运动。
B、重球下落至b处获得最大速度。
C、重球下落至d处获得最大加速度。
D、由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量。
分析与解：重球由c至a的运动过程中，只受重力作用，做匀加速运动；由a至b的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力大于弹力，做加速度减小的加速运动；由b至d的运动过程中，受重力和弹力作用，但重力小于弹力，做加速度增大的减速运动。所以重球下落至b处获得最大速度，由a至d过程中重球克服弹簧弹力做的功等于小球由c下落至d处时重力势能减少量，即可判定B、D正确。
C选项很难确定是否正确，但利用弹簧振子的特点就可非常容易解决这一难题。重球接触弹簧以后，以b点为平衡位置做简谐运动，在b点下方取一点a,,使ab=a,b,根据简谐运动的对称性，可知，重球在a、a,的加速度大小相等，方向相反，如图4所示。而在d点的加速度大于在a,点的加速度，所以重球下落至d处获得最大加速度，C选项正确。
3、必须弄清简谐运动图象是分析简谐运动情况的基本方法
简谐运动图象能够反映简谐运动的运动规律，因此将简谐运动图象跟具体运动过程联系起来是讨论简谐运动的一种好方法。
例4、如图5中两单摆摆长相同，平衡时两摆球刚好接触，现将摆球A在两摆线所在平面内向左拉开一小角度后释放，碰撞后，两摆球分开各自做简谐运动，以mA、mB分别表示摆球A、B的质量，则
A、如果mA>mB，下一次碰撞将发生在平衡位置右侧；
B、如果mA C、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置右侧； D、无论两摆球的质量之比是多少，下一次碰撞不可能在平衡位置左侧 。 分析与解：由于碰撞后两摆球分开各自做简谐运动的周期相同，任作出B球的振动图象如图6所示，而A球碰撞后可能向右运动，也可能向左运动，因此A球的振动图象就有两种情况，如图6中A1和A2。从图中很容易看出无论两摆球的周期之比是多少，下一次碰撞只能发生在平衡位置。即CD选项正确。 从例4可以看出， 利用振动图象分析问题非常简便。应该教育学生养成利用图象分析问题的习惯。 （作者单位：河北省霸州市第一中学）
